O processo de migrar de uma empresa para outra de hospedagem de site nem sempre é um processo simples, as empresas podem utilizar sistemas operacionais diferentes, ferramentas de gestão de hospedagem diferentes e no caso especifico dessa postagem sistema de gerenciamento de e-mails diferente, dessa forma não sendo realizar uma simples copia de uma hospedagem para outra.
Existem várias estratégias que podem ser adotadas para realizar essas cópia, a mais “braçal” seria configurar conta por conta em um cliente de e-mail como por exemplo o Outlook e realizar a copia de uma servidor para o outro, quando são poucas contas até é possivel prosseguir dessa forma, mas quando o numero de contas aumenta fica inviável trabalhar dessa forma.
Você pode solicitar para a nova empresa de hospedagem se eles tem alguma ferramenta para realizar a cópia ou se eles podem realizar para você, mas se você quiser ter o controle desse processo existem algumas ferramentas gratuitas que podem te ajudar, vou listar algumas que eu conheço atualmente:
https://imapcopy.planethoster.com/en/
Se você conhece outra ferramenta que realize a mesma tarefa por favor compartilhe conosco nos comentários.